Aritmetiğin Temelleri
Gottlob FregeAritmetiğin Temelleri Sözleri ve Alıntıları
Aritmetiğin Temelleri sözleri ve alıntılarını, Aritmetiğin Temelleri kitap alıntılarını, Aritmetiğin Temelleri en etkileyici cümleleri ve paragragları 1000Kitap'ta bulabilirsiniz.En yüksek kesinlige ve keskinlige /ad astra per aspera
7 + 5 = 12 gibi sayısal ifadeler ve Toplamanın Birleşme Yasası gibi yasalar her gün yapılan sayısız uygulamalarla o kadar çok doğrulanmıştır ki, onların kanıtlanmalarını isteyerek onları tartışma konusu yapmak
neredeyse gülünç gözükebilir. Ancak, bir kanıtlamanın olanaklı olduğu her yerde, kanıtlamayı, tümevarımla onaylamaya tercih
etmek matematiğin doğasmda bulunmaktadır. Eukleides, herkesin sorgusuzca kabul edeceği birçok şeyin kanıtlamasını vermişti. Ve insanlar Eukleides'in keskinlik ölçülerinden bile tatmin olmayı kabul etmedikleri zaman, Paraleller Aksiyomuyla gündeme gelen araştırmalara yönelmişlerdi.
Sayfa 88
"ancak tümcenin bağlamında
bir adın gönderimi vardır" (tractatus)
"Bağlam İlkesi", Frege'nin sayının
doğasına yönelik araştırmasının temel ilkelerinden biridir ve bu ilkenin dayandığı felsefi zemin de, yukarıda söz ettiğimiz
gibi nesnenin ve kavramın mekânının yargı olduğuna ilişkin Kantçı yargı anlayışıdır.
Yargıdan bağımsız nesne ve kavram olmadığına göre, ontolojik bir incelemenin temel birimi yargı ve yargının dilegetirilişi olan bildirim tümcesi olacaktır.
Sayfa 42
Tümdengelimi ne kadar küçümsersek küçümseyelim, tümevarımla ortaya konan yasaların yeterli olmadığı gerçeğini de yadsıyamayız. Bu yasalardan, tek tek yasaların hiçbirinde içerilmeyen yeni tümcelerin türetilmesi gerekir. Kuşkusuz bu tümcelerin, yasaların tümünün bir araya gelmesinde içeriliyor olmaları, bizi, onları çekip çıkarma ve kendileri için ortaya koyma işinden kurtarmaz. Bununla şöyle bir olanak doğmaktadır: Çıkarım zincirlerimizi dolaysızca olgulara bağlamak yerine, olguları oldukları gibi bırakır, ama içeriği bir koşullu önerme biçimi altında kabul ederiz. Bütün akıl yürütme boyunca, olgular yerine bu şekilde koşulları geçirerek, akıl yürütmeyi bazı sonuçların belli bir koşullar dizisine bağımlı hale geldiği bir biçime indirgemiş oluruz. Bu doğruluk yalnızca düşünce yoluyla ortaya konacaktır, ya da Mill'in ifadesini kullanarak, "dilin ustalıklı bir kullanımıyla"
Frege icin aritmetiğin yasalarının ve sayal sayının ne olmadığı hk.
Frege, A T'de 1) aritmetiğin
yasalarının tümevarımsal olduklarına (§ 9); 2) sayal sayıların fiziksel şeylerin özellikleri olduklarına (§ 21); 3) sayal sayıların
öznel zihinsel şeyler olduklarına (§ 26); 4) sayal sayıların fiziksel nesnelerin topluluğu olduklarına (§ 28); ve 5) sayal sayıların
sayı göstergeleriyle özdeşleştirilmesine karşı çıkmaktadır. Böylelikle, sayal sayının tanımlanmasında psikolojizm [1), 2), 3), ve
4)] ve formalizm [5)] yadsınıyor, sayal sayının deneyci anlayışı bir kenara bırakılıyordu.
Sayfa 41
Düşünce içeriğinin aynılığı durumundaki tumcelerce kurulan ideografi hk.
Frege Begriffsschrift'te "Yunanlılar, Perslileri Plataea'da yendiler" tümcesiyle, "Persliler, Plataea'da Yunanlılara yenildiler"
tümcelerinin düşünce içeriklerinin aynı olduğuna ve geliştirdiği ideografinin aynı düşünce içeriğine sahip tümceler arasında bir ayrım gözetmediğini ifade etmektedir. Yani mantıksal çıkarımlar, sadece görünüşteki farklılıklarla iş göremez; onun
asıl farklılıklara, asıl benzerliklere ve asıl bağıntılara gereksinimi vardır.
Sayfa 38
Sayıların şeylerin biraraya yigilmasi olmadığını gösteren denklem
Jevons
3 -2 = 1
denklemini, herhalde şöyle yazardı:
(1' + 1" + 1"') - (1" + 1"') = 1'
Ama bu durumda aşağıdaki çıkarma işleminin sonucu ne olacaktır?
(1' + 1" + 1”') - (1”" + 1”'")
Kesinlikle 1' değil. Dolayısıyla, Jevons'un görüşüne göre yalnızca farklı birler değil, farklı ikiler vb. vardır; çünkü 1"" ve 1'"",
1" ve 1"' 'ün yerine konamazlar.
Sayfa 133
katmanlar ulaşılan şeyler, sayılar
birle artırılarak ortaya çıkan şeyler
Varsayalım ki, bir sondaj çukurunda derinlik arttıkça, sıcaklığın da düzenli bir şekilde arttığını fark ettik; ve varsayalım ki o ana kadar büyük değişkenlik gösteren kaya katmanlarına rastladık. Bu noktada, yalnızca bu sondaj çukurunda yapılan gözlemler ışığında, daha derin düzeylerdeki katmanların doğası hakkında herhangi bir bilgiyi çıkarsayamayacağımız açıkça bellidir; ayrıca sıcaklık dağılımındaki düzenliliğin daha alt düzeylerde de sürüp sürmeyeceği sorusuna verilecek bir yanıt, erken bir yanıt olacaktır. Evet, "sondaj sürdürüldüğünde ulaşılan şey"
kavramının altına hem şimdiye kadar gözlenen katmanların hem de daha alt düzeydekilerin düştüğü doğrudur; ancak bunun bu noktada bize pek yardımı olmaz.Aynı şekilde, sayılar
söz konusu olduğunda, sayıların hepsinin "bir arttırarak elde
edilen şey" kavramının altına düştüğünü öğrenmenin de bize
pek yardımı olmayacaktır.
Sayfa 102
"Şeylerde ölçü vardır, kısaca, belirli sınırlar vardır." Horatius
Güneş nasıl ortadan yok olmuyorsa, bir tümcenin doğruluğu da, ben onu düşünmeyi bıraktığımda doğru olmaktan çıkmıyor. Aksi takdirde, Pythagoras teoremini kanıtlarken
insan beynindeki fosfor miktarını göz önüne almamız gerekirdi; ve bir gökbilimci şöyle bir itirazla karşılaşmamak için uzak
geçmiş hakkında sonuçlar çıkarmakta çekimser kalacaktı: "2 x 2 = 4 ettiğini hesaplıyorsun; ama sayı tasarımının bir gelişimi, bir tarihi var! Eskiden de bu aşamaya varılmış olması kuşku
götürür. Geçmişte de bu önermenin mevcut olduğunu nereden biliyorsun? O zamanlar yaşamış bulunan insanlar 2 x 2 = 5 önermesini benimsemiş olamazlar mı; ve 2 x 2 = 4 önermesi varolma mücadelesindeki doğal ayıklama yoluyla o eski önermenin evrimi sonucu ortaya çıkmış olamaz mı? 2 x 2 = 4 önermesi de niye aynı evrim sürecinin sonucunda 2 x 2 = 3! önermesine doğru
bir gelişim göstermesin?" Est modus in rebus, sunt certi denique fines!"
Sayfa 83
§ 87
Umuyorum ki, bu kitapta, aritmetiğin yasalarının analitik yargılar olduğunu ve dolayısıyla a priori olduğunu ortaya koyabilmişimdir. Böylelikle aritmetik, sadece, daha da geliştirilmiş
bir mantıktır ve her aritmetik önermesi, türetilmiş de olsa bir
mantık yasasıdır. Aritmetiğin, doğanın açıklanmasında kullanılması, gözlemlenmiş olguların mantıksal açıdan işlenmesidir;
hesaplama da çıkarım olmaktadır. Sayı yasalarının, dış dünyaya
uygulanabilmeleri için, Baumann'in düşündüğü gibi pratik sınamalarla kendilerini kanıtlamaları gerekli değildir; çünkü dış
dünyada, bütün uzayda kavram yoktur; kavramların özellikleri
yoktur ve sayılar da yoktur. Yani sayı yasaları gerçekte dışsal
şeylere uygulanabilir değildir; sayı yasaları doğa yasaları değildir. Ama sayı yasaları, dış dünyadaki şeylerle ilgili geçerli olan
yargılara uygulanabilirler; onlar doğa yasalarının yasalarıdır. Sayı yasaları, doğanın görüngüleri arasındaki bağlantılar hakkında bir şey öne sürmez, yalnızca yargılar arasındaki bağlantılar
hakkında bir şey öne sürer; ve bu yargılar arasında doğa yasaları da bulunur.
Sayfa 180
Tümce baglamli anlam+wirklich-nesne ayrimi
Bağlam İlkesine göre sözcüklerin sadece tümce bağlamında gönderimleri (anlamları) vardır; o zaman sorun, sayı sözcüklerinin geçtiği tümcelerin anlamlarını tanımlamaktır. Sayı sözcükleri, tümcede, kendi başına varolan bağımsız nesnelerin yerine durur. Daha önce sözünü ettiğimiz gibi, sayı ne dışşal şeylerin bir özelliğidir, ne de öznel zihinsel şeylerdir; yani sayının fiziksel olması bakımından değil, nesnel olması bakımından 'nesne' olduğunun altının çizilmesi gerekir. Frege burada fiili gerçek [Wirklich] olanla nesnel olanı birbirinden ayırıyor: "Nesnel olanı, dokunulabilir, uzaysal ya da fiili gerçek olandan ayırıyorum. Yeryüzünün ekseni, Güneş Sisteminin kütle
merkezi nesneldir; ancak bunlara Yeryüzünün kendisi gibi fiili
gerçek diyemem."
Sayfa 59