1/2 + 1/3+ 1/4+ 1/5+...
Bu sonsuz toplam sonlu bir sayı mıdır?
Kısmi toplamlar sonsuzda ne olurlar? Sonlu bir sayıya mı yakınsarlar, yoksa her sayı bir zaman sonra aşılır mı(yani kısmi toplamlar sonsuza mı giderler?)Örneğin, bu kısmi toplamlar bir zaman sonra 100 ü geçer mi? Geçerse ne zaman geçer?
Bilgisayarıma hesaplattım kısmi toplamları. Eğer;
1/2+1/3+...+1/n =Sn
diyecek olursak:
S2=1,5
S3=1,8333...
S4=2,0833...
4 ü 31'inci toplamda aştım:
.
.
.
Ya 5 i aştım mı? Aştım ama oldukça geç aştım. 83'üncü toplamda aşabildim ancak:
.
.
.
Her sayıyı bir süre sonra aşacak mıyız?
Evet aşacağız! 1,5 x 10 üzeri 43'üncü toplamdan sonra...
Baklayı ağzımdan çıkarayım :Yukarıdaki dizi sonsuza gider. Yani her sayıyı bir zaman sonra aşarız.
Kanıtlayalım.
Aşağıdaki tabloya bakınız:
1/3 +1/4 > 1/4 + 1/4 = 1/2
1/5+1/6+1/7+1/8 > 1>8+1/8+1/8+1/8 =1/2
.
.
.
Bu hesaplamalardan sonra toplamı neden sonsuz olduğu anlaşılıyor.
Sayfa 71Kitabı okuyor
·
35 görüntüleme
Son kısma dair (anladığım kadarıyla) ufak bir açıklama yapmak istiyorum:
Eklenen sayıları 2 nin kuvvetleri olarak grupladığımızda bu grupların kendi içinde toplamı her zaman 1/2 den büyük olur. Her eklenen grupta da sayı 1/2 den(yarımdan) fazla bir artış yaşayınca toplam sonsuza gider.
Kök 2 neden irrasyonel sayıdır ispatından sonra gördüğüm en etkileyici ispatlardan biri etkilenmemek elde değil
Yorum yapabilmeniz için giriş yapmanız gerekmektedir.