Aritmetiğin Temelleri
Gottlob FregeQuotes
En yüksek kesinlige ve keskinlige /ad astra per aspera
7 + 5 = 12 gibi sayısal ifadeler ve Toplamanın Birleşme Yasası gibi yasalar her gün yapılan sayısız uygulamalarla o kadar çok doğrulanmıştır ki, onların kanıtlanmalarını isteyerek onları tartışma konusu yapmak
neredeyse gülünç gözükebilir. Ancak, bir kanıtlamanın olanaklı olduğu her yerde, kanıtlamayı, tümevarımla onaylamaya tercih
etmek matematiğin doğasmda bulunmaktadır. Eukleides, herkesin sorgusuzca kabul edeceği birçok şeyin kanıtlamasını vermişti. Ve insanlar Eukleides'in keskinlik ölçülerinden bile tatmin olmayı kabul etmedikleri zaman, Paraleller Aksiyomuyla gündeme gelen araştırmalara yönelmişlerdi.
Sayfa 88
Kavram und fonksiyon
Frege fonksiyondan tam da matematikteki
"fonksiyon" kavramını anlamaktadır. f(x), diyelim x2 -1 gibi bir fonksiyon tanımlamakta, “x" ise argüman olarak nitelenmektedir. Aynı fonksiyonun farklı “x" değerleri için farklı değerleri vardır. Frege bu değerlere, değer-alanı [Werthverlauf (İng. valuerange)] adını vermektedir. Öte yandan bu değerler, aynı zamanda doğruluk-değerlerine de karşılık gelebilmektedir. Örneğin,
x = 1 için x2 -l'in değeri 0 dersek, bu 'doğru' doğruluk değerine, -1 dersek de 'yanlış' doğruluk değerine karşılık gelecektir.
Frege bunu şöyle ifade ediyor: "Bir kavram, değeri her zaman doğruluk-değeri olan bir fonksiyondur.
Sayfa 44
"ancak tümcenin bağlamında
bir adın gönderimi vardır" (tractatus)
"Bağlam İlkesi", Frege'nin sayının
doğasına yönelik araştırmasının temel ilkelerinden biridir ve bu ilkenin dayandığı felsefi zemin de, yukarıda söz ettiğimiz
gibi nesnenin ve kavramın mekânının yargı olduğuna ilişkin Kantçı yargı anlayışıdır.
Yargıdan bağımsız nesne ve kavram olmadığına göre, ontolojik bir incelemenin temel birimi yargı ve yargının dilegetirilişi olan bildirim tümcesi olacaktır.
Sayfa 42
Tümdengelimi ne kadar küçümsersek küçümseyelim, tümevarımla ortaya konan yasaların yeterli olmadığı gerçeğini de yadsıyamayız. Bu yasalardan, tek tek yasaların hiçbirinde içerilmeyen yeni tümcelerin türetilmesi gerekir. Kuşkusuz bu tümcelerin, yasaların tümünün bir araya gelmesinde içeriliyor olmaları, bizi, onları çekip çıkarma ve kendileri için ortaya koyma işinden kurtarmaz. Bununla şöyle bir olanak doğmaktadır: Çıkarım zincirlerimizi dolaysızca olgulara bağlamak yerine, olguları oldukları gibi bırakır, ama içeriği bir koşullu önerme biçimi altında kabul ederiz. Bütün akıl yürütme boyunca, olgular yerine bu şekilde koşulları geçirerek, akıl yürütmeyi bazı sonuçların belli bir koşullar dizisine bağımlı hale geldiği bir biçime indirgemiş oluruz. Bu doğruluk yalnızca düşünce yoluyla ortaya konacaktır, ya da Mill'in ifadesini kullanarak, "dilin ustalıklı bir kullanımıyla"
Sayıların şeylerin biraraya yigilmasi olmadığını gösteren denklem
Jevons
3 -2 = 1
denklemini, herhalde şöyle yazardı:
(1' + 1" + 1"') - (1" + 1"') = 1'
Ama bu durumda aşağıdaki çıkarma işleminin sonucu ne olacaktır?
(1' + 1" + 1”') - (1”" + 1”'")
Kesinlikle 1' değil. Dolayısıyla, Jevons'un görüşüne göre yalnızca farklı birler değil, farklı ikiler vb. vardır; çünkü 1"" ve 1'"",
1" ve 1"' 'ün yerine konamazlar.
Sayfa 133
§ 87
Umuyorum ki, bu kitapta, aritmetiğin yasalarının analitik yargılar olduğunu ve dolayısıyla a priori olduğunu ortaya koyabilmişimdir. Böylelikle aritmetik, sadece, daha da geliştirilmiş
bir mantıktır ve her aritmetik önermesi, türetilmiş de olsa bir
mantık yasasıdır. Aritmetiğin, doğanın açıklanmasında kullanılması, gözlemlenmiş olguların mantıksal açıdan işlenmesidir;
hesaplama da çıkarım olmaktadır. Sayı yasalarının, dış dünyaya
uygulanabilmeleri için, Baumann'in düşündüğü gibi pratik sınamalarla kendilerini kanıtlamaları gerekli değildir; çünkü dış
dünyada, bütün uzayda kavram yoktur; kavramların özellikleri
yoktur ve sayılar da yoktur. Yani sayı yasaları gerçekte dışsal
şeylere uygulanabilir değildir; sayı yasaları doğa yasaları değildir. Ama sayı yasaları, dış dünyadaki şeylerle ilgili geçerli olan
yargılara uygulanabilirler; onlar doğa yasalarının yasalarıdır. Sayı yasaları, doğanın görüngüleri arasındaki bağlantılar hakkında bir şey öne sürmez, yalnızca yargılar arasındaki bağlantılar
hakkında bir şey öne sürer; ve bu yargılar arasında doğa yasaları da bulunur.
Sayfa 180
"Şeylerde ölçü vardır, kısaca, belirli sınırlar vardır." Horatius
Güneş nasıl ortadan yok olmuyorsa, bir tümcenin doğruluğu da, ben onu düşünmeyi bıraktığımda doğru olmaktan çıkmıyor. Aksi takdirde, Pythagoras teoremini kanıtlarken
insan beynindeki fosfor miktarını göz önüne almamız gerekirdi; ve bir gökbilimci şöyle bir itirazla karşılaşmamak için uzak
geçmiş hakkında sonuçlar çıkarmakta çekimser kalacaktı: "2 x 2 = 4 ettiğini hesaplıyorsun; ama sayı tasarımının bir gelişimi, bir tarihi var! Eskiden de bu aşamaya varılmış olması kuşku
götürür. Geçmişte de bu önermenin mevcut olduğunu nereden biliyorsun? O zamanlar yaşamış bulunan insanlar 2 x 2 = 5 önermesini benimsemiş olamazlar mı; ve 2 x 2 = 4 önermesi varolma mücadelesindeki doğal ayıklama yoluyla o eski önermenin evrimi sonucu ortaya çıkmış olamaz mı? 2 x 2 = 4 önermesi de niye aynı evrim sürecinin sonucunda 2 x 2 = 3! önermesine doğru
bir gelişim göstermesin?" Est modus in rebus, sunt certi denique fines!"
Sayfa 83