1948 yılında Adana’da doğdu. Tiyatro oyunculuğuna Tarsus’da başlayan Haşmet Zeybek ilk kez 1970’de basılan Irgat oyunu ile adını duyurdu. Düğün ya da Davul oyunu geniş kitlelerce tanınmasını sağladı. Geleneksel Türk Halk Tiyatrosunun özelliklerinden yararlanarak oyunlar yazdı. Köy meydanlarında oynanan köy seyirlik oyunlarını tiyatro sahnesine taşıdı. TRT 1970 Sanat Ödülleri yarışmasında “ Başarı Ödülü” alan Haşmet Zeybek, Yetmişli yılların başında girdiği İstanbul Büyükşehir Belediyesi Şehir Tiyatroları’nda oyunculuk, yönetmenlik yaptı, oyunları sahnelendi.
Bir süre İstişan ( İstanbul Şehir Tiyatrosu Sanatçıları Derneği ) başkanlığını yürüten Şehir Tiyatroları Yönetim Kurulu ve Repertuar Kurulu üyeliklerinde bulunan ve OYÇED ( Oyun Yazarları ve Çevirmenleri Derneği ) üyesi olan Haşmet Zeybek 10 Ekim 2013 Perşembe günü geçirdiği kalp krizi sonucu hayatını kaybetti.