Cope, babası Fred Cope'un yerel mağaza Hedley Mitchell'in müdürü olduğu Erith , Kent'te (şimdi Londra'nın Bexley semtinde) doğdu. Sidcup'taki West Lodge Hazırlık Okulu'nda ve Chislehurst'teki Farrington's Okulu'nda eğitim gördü, ikisi de Kent'teydi. St Hilda's College ve Oxford'daki Westminster College'dan mezun olduktan sonra Cope, on dört yılını ilkokul öğretmeni olarak geçirdi. 1981'de Inner London Education Authority dergisi Contact'ın Sanat ve İncelemeler editörü oldu. Beş yıl sonra serbest yazar oldu ve 1990'a kadar The Spectator dergisinde televizyon eleştirmenliği yaptı.
Yetişkin şiirlerinden oluşan beş koleksiyonu yayınlandı: 1986'da Kingsley Amis için Kakao Yapmak, 1992'de Ciddi Endişeler, 2001'de Bilmiyorsam, 2011'de Aile Değerleri ve 2018'de Anekdotsal Kanıtlar. Ayrıca birkaç komik şiir antolojisini düzenledi ve 2007 Man Booker Ödülü'nün jürisinde yer aldı.
1998'de, BBC Radio 4 anketinde Ted Hughes'un yerine Şair Ödülü'nü almak üzere dinleyicilerin tercihi seçildi. Andrew Motion'ın Şair Ödülü dönemi 2009'da sona erdiğinde, Cope yine popüler bir aday olarak kabul edildi. Ancak kendisi bu görevin sona erdirilmesi gerektiğine inanıyor. Carol Ann Duffy, Motion'ın yerine Şair Ödülü'nü aldı.
Cope, 2010 Doğum Günü Onur Ödülleri'nde Britanya İmparatorluk Nişanı Subayı (OBE) olarak atandı. Nisan 2011'de, Britanya Kütüphanesi, bugüne kadar satın aldıkları en büyük e-posta arşivi olan el yazmaları, okul raporları ve 40.000 e-posta içeren Cope arşivini satın aldı. Belgeler ayrıca 67 şiir defteri ve yayınlanmamış şiirler içeriyor. Cope, "Arşivim için iyi bir yuva bulmak istedim. Zamanlama dikte edildi çünkü eve taşınmamız gerekiyordu, bu yüzden bir ev ve alan satın almak için biraz paraya ihtiyacımız vardı. Bu yüzden o an geldi. Andrew Motion'a ne yapmam gerektiğini sordum ve bana Britanya Kütüphanesi'nde birine başvurmamı söyledi. Bunu isteyip istemeyeceklerinden emin değildim ama istediler." Koleksiyon kataloglanıp düzenlendiğinde, arşiv araştırmacıların kullanımına sunulacak.
Cope, 19 yıllık birlikteliğin ardından 2013 yılında Lachlan Mackinnon ile bir nüfus dairesinde evlendi, ancak kendisi medeni birlikteliği tercih ettiğini belirtti.
Ocak 2019'da BBC Radio 4'ün uzun süredir devam eden programı Desert Island Discs'in konuğu oldu. Kitap tercihi Geoffrey Willans'ın The Compleet Molesworth'uydu, lüks ürünü yazı malzemeleriydi ve en sevdiği parça Bach'ın "D minör İki Keman ve Yaylılar için Konçerto" suydu.
Cope, kocası şair Lachlan Mackinnon ile Cambridgeshire Ely'de yaşamını sürdürmektedir.