Biraz bilgisi olan ancak yeterince geniş bir tasarım gücün ve derin bir iç görüye sahip olmayan insanlar, yanlış genellemeler yapmaya eğilimli olurlar çoğu zaman.
Eğer insan öğrendiği şeyi kendi başına başka bir şekilde ifade edebiliyorsa ya da değiştirebiliyorsa, yani kısacası onu yeniden yaratabiliyorsa, bu şeyi layıkıyla anladığı söylenebilir.
Sıkı bir zihinsel çaba olmaksızın insan matematikte fazla ilerleyemez. Fakat saf bilginin zevkine varan, matematiğin güzelliğini gören herkes, bu esaslı çabayı gönüllü olarak gösterir. Matematik öğretmenin asıl amacı öğrenciyi bu zevkle tanıştırmak ve böylece onu, matematik için vazgeçilmez olan disiplinli ve mantıklı düşünme konusunda eğitmektir. Bu zahmete değer, çünkü matematik aracılığıyla mantıklı düşünme sanatını öğrenen, bunu yaşamın her alanında kullanılabilir