"Şeylerde ölçü vardır, kısaca, belirli sınırlar vardır." Horatius
Güneş nasıl ortadan yok olmuyorsa, bir tümcenin doğruluğu da, ben onu düşünmeyi bıraktığımda doğru olmaktan çıkmıyor. Aksi takdirde, Pythagoras teoremini kanıtlarken
insan beynindeki fosfor miktarını göz önüne almamız gerekirdi; ve bir gökbilimci şöyle bir itirazla karşılaşmamak için uzak
geçmiş hakkında sonuçlar çıkarmakta çekimser kalacaktı: "2 x 2 = 4 ettiğini hesaplıyorsun; ama sayı tasarımının bir gelişimi, bir tarihi var! Eskiden de bu aşamaya varılmış olması kuşku
götürür. Geçmişte de bu önermenin mevcut olduğunu nereden biliyorsun? O zamanlar yaşamış bulunan insanlar 2 x 2 = 5 önermesini benimsemiş olamazlar mı; ve 2 x 2 = 4 önermesi varolma mücadelesindeki doğal ayıklama yoluyla o eski önermenin evrimi sonucu ortaya çıkmış olamaz mı? 2 x 2 = 4 önermesi de niye aynı evrim sürecinin sonucunda 2 x 2 = 3! önermesine doğru
bir gelişim göstermesin?" Est modus in rebus, sunt certi denique fines!"
Sayfa 83
Dışsal şeyler kendilerini yalitilmis obekler olarak sunar, anzhal sunmaz
Aslında, bir şeyi sadece farklı
şekillerde düşünerek onun rengini veya katılığını hiçbir şekilde
değiştiremediğim halde, İlyada destanını tek bir şiir olarak ya da 24 kitap olarak veya çok sayıda (sayal) dize olarak düşünebilirim. Bir ağaçtan söz ederken onun 1000 yaprağı olduğunu söylediğimizde, yeşil yaprakları olduğunu söylediğimiz zamankinden tümüyle farklı anlamlarda konuşmuyor muyuz? Her bir yaprağa yeşil rengini atfettiğimiz halde, 1000 sayısını atfetmiyoruz. Eğer bir ağacın bütün yapraklarını birarada düşünürsek ona ağacın örtüsü adım verebiliriz. Bu da yeşildir, ama 1000 değildir. Öyleyse 1000 özelliği gerçekten neye aittir? Bu özellik
ne yapraklardan herhangi birine, ne de onların tümüne aitmiş gibi gözüküyor; acaba dış dünyadaki şeylere gerçekten ait olmaması olanaklı mıdır?
Sayfa 113
Kesinlik und keskinlikten ayrı düşen mat.
Matematik, Eukleides'ten gelen kesinlik ve keskinlik ölçütlerinden uzun bir süre ayrı kaldıktan sonra, şimdi onlara geri dönüyor, hatta onların da ötesine giden çabalarda bulunuyor. Belki de yöntem ve kavramlarin çoğunun Hindistan'dan kaynaklanması nedeniyle, aritmetik, büyük ölçüde Eski Yunan'da geliştirilmiş geometriye göre daha az kesinlikli akıl yürütme geleneğine sahip olmuştur. Yüksek analizin keşfi bu eğilimi yalnızca hızlandırmıştır; çünkü bir yandan bu alamn keskinlikle ele alınmasında büyük, neredeyse aşılamaz zorluklarla karşılaşılırken, diğer yandan da bu çabalar, zorlukların aşılmasında pek işe yaramıyormuş gibi görünmektedir.
Sayfa 87
Düşünce içeriğinin aynılığı durumundaki tumcelerce kurulan ideografi hk.
Frege Begriffsschrift'te "Yunanlılar, Perslileri Plataea'da yendiler" tümcesiyle, "Persliler, Plataea'da Yunanlılara yenildiler"
tümcelerinin düşünce içeriklerinin aynı olduğuna ve geliştirdiği ideografinin aynı düşünce içeriğine sahip tümceler arasında bir ayrım gözetmediğini ifade etmektedir. Yani mantıksal çıkarımlar, sadece görünüşteki farklılıklarla iş göremez; onun
asıl farklılıklara, asıl benzerliklere ve asıl bağıntılara gereksinimi vardır.
Sayfa 38
katmanlar ulaşılan şeyler, sayılar
birle artırılarak ortaya çıkan şeyler
Varsayalım ki, bir sondaj çukurunda derinlik arttıkça, sıcaklığın da düzenli bir şekilde arttığını fark ettik; ve varsayalım ki o ana kadar büyük değişkenlik gösteren kaya katmanlarına rastladık. Bu noktada, yalnızca bu sondaj çukurunda yapılan gözlemler ışığında, daha derin düzeylerdeki katmanların doğası hakkında herhangi bir bilgiyi çıkarsayamayacağımız açıkça bellidir; ayrıca sıcaklık dağılımındaki düzenliliğin daha alt düzeylerde de sürüp sürmeyeceği sorusuna verilecek bir yanıt, erken bir yanıt olacaktır. Evet, "sondaj sürdürüldüğünde ulaşılan şey"
kavramının altına hem şimdiye kadar gözlenen katmanların hem de daha alt düzeydekilerin düştüğü doğrudur; ancak bunun bu noktada bize pek yardımı olmaz.Aynı şekilde, sayılar
söz konusu olduğunda, sayıların hepsinin "bir arttırarak elde
edilen şey" kavramının altına düştüğünü öğrenmenin de bize
pek yardımı olmayacaktır.
Sayfa 102
* = Gözlemin kendisi, mantıksal bir etkinliği zaten içermektedir.
Belli ki Kant*,analitik yargıların değerini hafife almıştı -kuşkusuz bu, kavramla ilgili belirlenimi çok dar bir şekilde yapmaktan kaynaklanmaktadır- gerçi bu terimi benim kullandığım geniş anlamda düşünmüş olduğuna dair bazı ipuçları da vardır
Sayfa 181
Bilinen 2000 yıllık geçmişine karşın hala karanlıkta olan Anzhal
Frege, "sayı" sözcüğü için Anzahl ve Zahl terimlerini kullanıyor. Anzahl, sayal (kardinal) sayı anlamındadır; sayal sayı, bir kümenin öğelerinin toplam sayısını veren, yani "kaç tane" sorusuna yanıt veren tamsayıdır. Zahl
ise genel anlamda "sayı"dır.
Sayfa 40
3 temel ilke
Psikolojik olanı mantıksal olandan, öznel olanı nesnel olandan kesin bir biçimde ayırmak; Sözcüklerin anlamını/gönderimini [Bedeutung] tek başına değil, ancak bir tümce bağlamında [Satzzusammenhange] ele almak; Kavramla nesne [Gegenstand] arasındaki ayrımı asla gözden
kaçırmamak.
Sayfa 85
Die Zahl Eins ist ein Ding
Herhangi birine, bir sayısının ne olduğunu ya da 1 göstergesinin neye gönderme yaptığını [bedeute]* sorduğumuzda, aldığımız yanıt çoğunlukla şudur: "bir şey işte". Ve eğer
"bir sayısı bir şeydir"
Sayfa 77
2 ve '1 cift' farkı üzerinden mill'e yanıt
Mill için sayı fiziksel bir şeyken, Locke ve Leibniz için yalnızca bir idea olarak vardır. Mill iki elmanın üç elmadan,
iki atın bir attan farklı olduğunu söylerken elbette son derece haklıdır; bunlar görülebilir ve dokunulabilir görüngülerdir
[Phanomen] Ancak bundan, onların ikiliklerinin [Zmeiheit] ve
üçlüklerinin de fiziksel bir şey olduğu sonucunu çıkarsayabilir
miyiz? Bir çift çizme, iki çizmeyle aynı görülebilen ve dokunulabilir olgu olabilir. Burada hiçbir fiziksel farkın karşılık gelmediği sayısal bir fark söz konusudur; çünkü "iki" ve "bir çift" hiçbir şekilde, Mill'in tuhaf bir biçimde inanıyor göründüğü gibi, aynı
şey değildir.
Sayfa 117