Gödel'in ulaştığı sonuç iki yönlüdür. İlkin tüm aritmetiği kapsayacak ölçüde kapsamlı bir dizgenin tutarlılığının üst-matematiksel bir kanıtlamasını vermenin olanaksız olduğunu göstermiştir...
Gödel'in ulaştığı ikinci ana sonuç daha da şaşırtıcı ve devrimcidir; çünkü aksiyomatik yöntemin gücü için temel bir sınırlandırma olduğunu kanıtlamaktadır. Gödel, Principia'nın veya içinde aritmetiği geliştirilebileceği herhangi bir dizgenin özsel olarak tamamlanmamış olduğunu göstermiştir.