22 Nisan 1903'te, Kazan'ın Novoşeşminskiy Rayonu'na bağlı Berkete köyünde,[2] Tâhir Şahmurad ile Şâkire İrfan'ın çocuğu olarak dünyaya geldi.[3] 1920'de Bügülme Lisesi'nden mezun oldu ve eğitimine devam etmek için önce Leningrad ve arkasından Moskova'ya gittiyse de yüksek öğrenimini buralarda tamamlamadı.[2] 1922'de, eğitimini sürdürmek için Almanya'yı planlasa da, Letonya üzerinden Polonya'ya giderken pasaportsuz olduğu için tutuklandı ve burada altı ay kadar hapis yattı.[2] Hapisten çıkmasının ardından Varşova yakınlarındaki bir çiftlikte yaklaşık bir buçuk yıl çalıştı, bu esnada Lehçe öğrendi.[2] Polonya'daki Türkiye elçiliğinden aldığı pasaportla 1924 kasımında İstanbul'a geldi.[2] İstanbul Darülfünunu Edebiyat Fakültesinde tarih ve felsefe eğitimi aldı.[3] 1925 ağustosunda Mehmet Fuat Köprülü tarafından Türkiyat Enstitüsüne asistan olarak alındı.[3] Mayıs 1928'de tarih bölümünden mezun olmasının ardından Almanya'daki Breslau ve Hamburg üniversitelerinde Doğu Avrupa, Bizans tarihi, ekonomi ve felsefe alanlarında eğitim gördü.[3] 1933 yılında İstanbul'a dönmesiyle birlikte orta zamanlar tarihi doçent adaylığına getirildi.[3] 1935'te Kurat soyadını aldı.[2] 1937 yılında İsveç'e giderek Uppsala Üniversitesi'nde ders verdi ve aynı zamanda başkent Stockholm'deki İsveç Devlet Arşivi'nde araştırmalarda bulundu.[3] Burada geçirdiği bir yıllık süreçte ve sonrasında Berlin,Viyana, Londra, Paris gibi merkezlerdeki arşiv ve kütüphanelerde yaptığı araştırmalarda Prut Seferi ve Barışı adlı eseri için doküman topladı.[3] 1938'de Türkiye'ye dönmesinin ardından Kurat; Denizli Lisesi, Gazi Terbiye Enstitüsü gibi eğitim kurumlarında tarih öğretmenliği yaptı.[3] 1941 eylülünde, Ankara Üniversitesi Dil ve Tarih-Coğrafya Fakültesi kapsamında açılan Rus Dili ve Edebiyatı Bölümüne doçent olarak atandı, 1944'te ise profesörlüğe yükseltildi.[3] Ertesi yıl Ortaçağlar Tarihi profesörlüğüne getirilen Kurat; 1954-1955 yıllarında Ankara Üniversitesi Dil ve Tarih-Coğrafya Fakültesi Dekanı olarak görev yaptı.[3] 28 Ağustos 1971'de, Ankara'dan İstanbul'a giderken içinde bulunduğu otobüsün kaza geçirmesi sonucu ağır yaralandı, 8 Eylül günü ise İstanbul'da vefat etti.